(Martin Ahlemeyer für Interzine '91.3', 1991-03-14)
(Dieser Artikel ist eine ausführlichere Darstellung von Martins Methode zur Berechnung des "WP-Wertes" von Hintermannschaftsspielern, die im United-Forum 3 erstmals abgedruckt wurde.)
Der grundsätzliche Ansatz ist, daß der Wert eines Torwarts durch seine Chancenzahl ausgedrückt wird. Dies ist im Übrigen die einzige Methode, bei der man den Ausputzer ignorieren kann. Die Chancenzahl ist die Anzahl gegnerischer Schüssen auf den Torwart, die im Mittel zu genau einem Tor führen. Je mehr Schüsse der Gegner abgeben muß, um ein Tor zu erzielen, desto besser ist natürlich der Torwart. Die Chancenzahl ist aus der Stufe des Torwarts einfach zu berechnen; die Formel lautet:
| Chancenzahl | = | 14 ----------- 14 - Stufe |
Das ist natürlich keine lineare Funktion, sondern eine Hyperbel. Jetzt kommt der zweite Punkt meines Ansatzes. Die Chancenzahl ist ein Faktor! Um zwei Chancenzahlen zu vergleichen, darf man nicht ihre Differenz benutzen, sondern muß ihren Quotienten betrachten. Eine Chancenzahl von 2 ist doppelt so gut wie eine Chancenzahl von 1; eine Chancenzahl von 3 ist aber nur eineinhalbmal so gut wie eine Chancenzahl von 2.
Man kann nun einfach die Chancenzahlen für alle Torwartstufen von 0 bis 10 (oder 13) berechnen und sich anschauen. Natürlich wachsen die Chancenzahlen mit steigender Stufe, aber wie?
Entscheidend ist, wie eben gesagt, der Quotient.
Dieser Quuotient kann entsprechend für jede weitere Torwartstufe berechnet werden und gibt den relativen Stärkezuwachs zur nächstniedrigeren Stufe an. Statt langer Rechnungen mit krummen Zahlen kann man auch einfach die folgende Formel verwenden:
| Chancenzahl T Stufe (n+1) -------------------------------- Chancenzahl T Stufe n |
= | 14 ------------ 14 - (n+1) |
* | 14 - n -------- 14 |
= | 14 - n -------- 13 - n |
Was hat das nun alles mit WP zu tun? Wir möchten die Stärke eines Torwarts in WP ausdrücken, und zwar nicht in den formalen WP, die man in das Training steckt, sondern die WP sollen in Proportion zum tatsächlichen Effekt des Torwarts stehen. Eine Brücke zur formalen WP-Zahl eines Torwarts ist aber erforderlich: Irgend einen Torwart muß man als Referenz nehmen.
Hier wird das Ganze etwas willkürlich: im United-Forum hatte ich den T 10 mit 20 WP als Referenz genommen. Das bedeutet, ich hatte einfach postuliert: "Ein T 10 ist wirklich 20 WP wert." Man könnte genauso den T 9 oder den T 8 nehmen, die insgesamt wahrscheinlich häufiger vorkommen, und sagen: "Ein T 8 ist wirklich 16 WP wert." Diese Entscheidung ist schwierig. Die Verhältnisse zwischen den einzelnen Torwartstrukturen werden zwar in keiner Weise davon beeinflußt, wohl aber die Relationen zu Feldspielern.
Und das Wertverhältnis von Hintermannschaft zu Feldspielern ist mir weiterhin unklar: Es hängt offenbar von der Gesamtstärke der Mannschaft ab. Im Folgenden nehme ich einfach mal einen T 9 als Basis, als Kompromiß zwischen T 8 und T 10, und postuliere: "Ein T 9 ist wirklich 18 WP wert." Meine Ergebnisse werden also in absoluten Zahlen etwas anders aussehen als im United-Forum 3, die Relationen sind aber dieselben.
Man braucht noch eine zweite Grundannahme, aber die dürfte völlig unstreitig und klar sein: "Ein T 0 hat wirklich 0 WP."
Der T 9, der nun angeblich wirklich 18 WP wert ist, unterscheidet sich von einem T 0 durch neun Stufen. Wenn man alle Quotienten aus der letzten Formel bis zum T 9 miteinander multipliziert, kommt genau das Verhältnis des T 9 zum T 0 heraus:
| T 9 ----- T 0 |
= | T 9 ----- T 8 |
* | T 8 ----- T 7 |
* | T 7 ----- T 6 |
* | T 6 ----- T 5 |
* | T 5 ----- T 4 |
* | T 4 ----- T 3 |
* | T 3 ----- T 2 |
* | T 2 ----- T 1 |
* | T 1 ----- T 0 |
Ich glaube, nun wird etwas klarer, daß es hier wirklich um Faktoren geht. Leider geht es bei WP-Zahlen keineswegs um Faktoren, sondern um Summanden. Ein Spieler mit dem WP-Wert von 8 soll eben genausoviel besser sein als einer mit 7 WP, wie dieser besser ist als einer mit 6 WP. Wir müssen also Faktoren irgendwie in Summanden übersetzen. Dafür gibt es in der guten alten Mathematik einen Hauptweg, und das sind die Logarithmen:
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Der zweite Ausdruck ist sehr schön, weil in der Klammer 1 steht und der Logarithmus von 1 zu jeder beliebigen Basis immer 0 ist. Der erste Ausdruck ist noch etwas unverständlich: Wo kommt denn bloß die 18 her?
Die Chancenzahl von T 9 ist 2.8, die von T 0 ist und bleibt 1. Das Verhältnis ist also 2.8. Der Logarithmus zur Basis x von 2.8 soll also gleich 18 sein. Das entspricht der Forderung, daß x hoch 18 gleich 2.8 sein soll. x ist also die achzehnte Wurzel aus 2.8; schauen wir mal nach, was der Taschenrechner dazu sagt: X = 1.058868705!
Theoretisch könnte man jetzt alle WP-Werte berechnen, nach der Formel
| WP-Wert von T n | = | log1.058868705 | * | ( | T n ----- T 0 |
) |
Das könnte aber ein wenig trist werden, wenn man nicht gerade firm ist in logarithmischen Umformungen. Man kann sich viel ersparen, wenn man eine Konstante bildet und dann einen der allgemein benutzten Logarithmen wie den natürlichen oder den zur Basis 10 verwendet.
| 18 WP-Wert | = | Konstante | * | log10 | ( | T 9 ----- T 0 |
) | = | Konstante | * | log10 | ( | 2.8 | ) | = | Konstante | * | 0.447158031 |
Daraus errechnet sich die gesuchte Konstante zu 40.254225, und unsere allgemeine Formel für den "echten WP-Wert" eines Torwarts mit der Stufe n sieht dann so aus:
| WP-Wert (T n) | = | 40.254225 | * | log10 | ( | T n ----- T 0 |
) |
Die einzelnen Stufen führen zu folgenden WP-Werten:
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Wie man sieht, kommen insgesamt etwas höhere WP-Werte heraus als in meinen Berechnungen im United-Forum Nr. 3, wo ich einen T 10 mit 20 WP als Fixpunkt genommen hatte. Der T 10 ist jetzt schon 22 WP wert! Ob das richtig ist, das ist schwierig zu entscheiden. Wahrscheinlich ist es doch dem allgemeinen Gefühl entsprechender, den T 10 mit 20 WP anzusetzen. Meine Werte aus dem United-Forum sind in der Berechnung übrigens ganz leicht ungenau, wie ich beim Nachrechnen festgestellt habe. Das liegt daran, daß ich damals auf meinem alten C64 gerechnet habe, während ich heute einen wissenschaftlichen Taschenrechner benutzt habe.
Also, nochmal das Kochrezept:
Man nehme eine bestimmte Torwartstufe als Fixpunkt und ordne ihr eine feste WP-Zahl zu. Machen wir es diesmal mit dem T 10 zu 20 WP. Dann rechnet man die Chancenzahl dieser Stufe aus, das ist konkret 3.5. Davon bildet man den Logarithmus zu irgendeiner Basis, nehmen wir den 10er-Logarithmus. Das Ergebnis ist 0.544068044. Die WP-Zahl des Fixpunkts (= 20) wird durch diesen Wert dividiert, was eine Konstante ergibt. Konkret ergibt sich die Konstante 36.76010787. Um den WP-Wert irgendeiner Stufe zu ermitteln, berechnen wir die dazugehörige Chancenzahl, bilden davon den Logarithmus (zur selben Basis wie zu Anfang!) und multiplizieren das Ergebnis mit der Konstanten. Fertig!
Die krummen WP-Zahlen stimmen völlig mir der tatsächlichen Wirkung des Torwarts überein. Am deutlichsten wird das, wenn man annimmt, statt des Ausputzers würde ein zweiter Torwart spielen. Das ist natürlich völlig irreal, erspart mir aber das Berechnen des Ausputzers und erleichtert den Vergleich.
Zwei T 10 hätten eine kombinierte Chancenzahl von 3.5 * 3.5 = 12.25. Die Summe ihrer WP-Werte wäre 43.80 WP. Ein einziger T 13 hat eine Chancenzahl von 14 und einen WP-Wert von 46.16 WP. Es wäre ein Irrtum, zu meinen, die WP-Differenz wäre zu klein! Wie schon tausendmal gesagt, geht es bei den Chancenzahlen um Faktoren. Eine Chancenzahl von 14 ist nicht um den Summand 1.75 besser als eine von 12.25! Sie ist um den Faktor 1.14286 besser. Ein T 2 mit seiner Chancenzahl von 1.167 ist gegenüber einem T 0 (Chancenzahl 1) deutlicher besser als ein T 13 gegenüber zwei T 10! Dies drückt sich, wie erwartet, auch in der WP-Differenz aus.
(Michael Schröpl, beim Setzen dieses Dokuments 1999-07-28)
Ich habe mal schnell die Zahlen für den Fixpunkt beim T 10 berechnet (mit Martins Formel geht das blitzschnell):
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Einige Beobachtungen möchte ich explizit herausstellen: