Noch ein Ansatz

(Martin Ahlemeyer)

Im folgenden stelle ich eine Formel vor, die zwar nur mit einem Computer auswertbar ist, die aber für Torwarte bis Stärke 10 sehr ähnliche Tor-Wahrscheinlichkeiten ergibt wie bisher.

Zielsetzung

Angestrebt wird eine identische Tor-Wahrscheinlichkeit bei Stärke 10. Diese betrug bisher ⁴/₁₄, die Wahrscheinlichkeit einer Parade war also ¹⁰/₁₄.

Die Parade wird jetzt aufgeteilt in zwei Mechanismen, die voneinander unabhängig sind. Beide Mechanismen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit wt eines Erfolges. Der Torwart hat pariert, wenn wenigstens einer der beiden Mechanismen erfolgreich ist. Die Wahrscheinlichkeit eines Tores ist dann (1-wt)².

Da dies gleich ⁴/₁₄ sein soll, ergibt sich: wt = 1 - (Wurzel aus ⁴/₁₄) = 0.465478.

Umsetzung in eine Regel

Wir brauchen jetzt also zwei Mechanismen, die beide mit der Wahrscheinlichkeit wt ein Tor verhindern.

Der Torwart hat soviele Würfelwürfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit t1, wie seine Stärke beträgt. Wenn mindestens einer dieser Würfe gelingt, ist die Torchance abgewehrt.
Der Torwart hat soviele Würfelwürfe mit der Erfolgswahrscheinlichkeit t2, wie das Quadrat seiner Stärke beträgt. Wenn mindestens einer dieser Würfe gelingt, ist die Torchance abgewehrt.

Man mag sich unter diesen beiden Mechanismen z. B. Fußabwehr und Faustabwehr vorstellen, wenn man eine Abbildung auf realen Fußball sucht.

Zahlenwerte

Wie sind nun die Zahlen t1 bzw. t2 zu bestimmen? Nun, gerade so, daß die Forderung erfüllt bleibt, daß ein T10 sich wie bisher verhält, also

1 - t1¹⁰ = 1 - wt -> t1 = 0.0607168
1 - t2¹⁰⁰ = 1 - wt -> t2 = 0.00624425

Auswirkungen

Auch hier wieder die Abweichungen vom Original:

Stufe	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15
Torwart	0%	7%	14%	21%	29%	36%	43%	50%	57%	64%	71%	79%	86%	93%	100%	100%
Ahlemeyer	0%	7%	14%	22%	30%	37%	45%	53%	59%	66%	71%	(weitere Werte fehlen)
Hopscotch	0%	3%	10%	19%	28%	37%	44%	51%	57%	62%	66%	70%	73%	75%	78%	80%
p = 9.58%	0%	10%	18%	26%	33%	40%	45%	50%	55%	60%	63%	67%	70%	73%	76%	78%

Die Abweichungen von den Werten der Originalregel sind die kleinsten aller bisherigen Ansätze! Die Kurve liegt knapp oberhalb der bisherigen Geraden und schneidet diese bei Stufe 10 des Torwarts. Die mittlere Abweichung ließe sich wohl noch weiter verkleinern, wenn man den Schnittpunkt etwa bei Stufe 9 ansetzt.

Analog kann für den Ausputzer verfahren werden. Dafür sind die Parameter a1 und a2 so zu bestimmen, daß

1 - a1¹⁰ = 1 - wa
1 - a2¹⁰⁰ = 1 - wa

mit wa = 1 - (Wurzel aus ⁵/₁₅) = 0.422650.