Ein neuer Typ von DI-Matrix

(Jan Schüler, GM im Playball)

Es soll eine neue Disziplinarmatrix gebastelt werden, die der United3-Härteregel möglichst genau entspricht.

Als erstes muß man sich darüber klar werden, was die DI-Matrix bedeuten soll. Im ursprünglichen Sinne hat diese Matrix 10 Zeilen und 10 Spalten (Härte 0 soll nicht zu Strafen führen können). Die Zeilen stellen die unterschiedlichen Schiedsrichtertypen dar, die Spalten die eingesetzte Härtestufe. Weiterhin enthält die Matrix nur ganze, nicht-negative Zahlen, die die Anzahl der verteilten Strafen bedeuten sollen.

Wenn man weiterhin an dieses Schema gebunden bleiben will, wird es sehr schwierig sein, eine Matrix zu finden, die exakt den United3-Härteregeln entspricht (zumindest, was die Verteilung der Roten Karten betrifft).

Es liegt also nahe, eine andere Modellbildung für eine Matrix zu wählen. Mit dem ursprünglichen Modell lassen sich Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung einer bestimmten Anzahl von Strafen bei einer bestimmten Anzahl eingesetzter Härtepunkte berechnen (siehe Heft 7). Warum also sollte man nicht gleich von einer solchen Matrix ausgehen? Diese Matrix würde dann 10 Spalten für die Anzahl der Härtepunkte und z. B. 10 Zeilen für die Anzahl der verteilten Strafen enthalten. Die Werte in der Matrix können nun Intervalle von reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sein; um festzustellen, wieviele Strafen ein Team bei einem bestimmten Härteeinsatz erhält, ermittelt man eine gleichverteilte Zufallszahl zwischen 0 und 1 und sucht das entsprechende Intervall in der entsprechenden Matrix-Spalte. Die Schwierigkeit wird nun darin bestehen, sinnvolle Werte für diese Matrix zu berechnen.

Eine weitere Schwierigkeit besteht in den verhältnismäßig geringen Wahrscheinlichkeiten für viele Rote Karten bei United3. Deshalb werden in einer ersten Näherung alle Wahrscheinlichkeiten, die kleiner als 0.5% sind, als 0 angenommen. Weiterhin muß eine Maximalzahl an Strafen festgelegt werden; ich verwende hierfür im folgenden den Wert 8.

Die Matrix werde ich ab jetzt mit M bezeichnen, ihre Elemente mit m[g,h]. M habe also nach obigen Annahmen 10 Spalten für die Härte und 9 Zeilen für die Anzahl der Strafen.

Versucht man nun eine Lösung für M zu finden, so stellt man fest, daß man ein lineares Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen zu lösen hat. Die Lösung ist folglich ein ganzer Unterraum. Nun haben wir aber noch die Beschränkung, daß für alle m[g,h] gelten muß: 0 ≤ m[g,h] ≤ 1; schon macht der Unterraum es uns schwierig, eine passable Lösung zu finden. Dies liegt daran, daß die Wahrscheinlichkeiten für viele Rote Karten sehr gering sind, so daß beim Lösen des Gleichungssystems große Faktoren entstehen.

Also werde ich einen anderen, aber ähnlichen Weg gehen müssen. Es ist dafür eine zusätzliche Annahme erforderlich: Die Genauigkeiten der zu erhaltenden Wahrscheinlichkeiten für Rote Karten soll nicht mehr so hoch sein. Dies vereinfacht das Suchen enorm, macht die Matrix aber 'nicht wesentlich' ungenauer.
Der Weg, der nun eingeschlagen wird, ist folgender: Ich schätze für eine bestimmte Anzahl von Härtepunkten die Werte der zugehörigen Spalte m[h], berechne die Wahrscheinlichkeiten für Rote Karten und vergleiche dieses Ergebnis mit dem aus United3. Wenn ich keine passable Lösung gefunden habe, dann ändere ich erneut, wobei die Tabelle aus Heft 7 sehr hilfreich ist.

Dabei entsteht die folgende neue Disziplinarmatrix (angegeben ist jeweils die Intervallbreite in Einheiten von 0.01):

Strafen Härte
12345678910
0252010101098654
1262114141413121198
236302723181614121110
313192423201815141413
4 101520181616151515
5  510141618201918
6    6810111214
7     4791012
8       256

Die mit dieser Matrix verbundenen Wahrscheinlichkeiten für Rote Karten bei Härte h (Angabe in %, auf eine Stelle nach dem Dezimalpunkt gerundet):

Rote
Karten
Härte
12345678910
092.886.779.774.468.863.758.853.749.846.3
17.213.019.423.927.429.732.334.535.737.0
2 0.30.61.73.86.28.710.712.914.7
3    0.10.31.01.01.62.0

Zum Vergleich nochmal die gleiche Tabelle für United3:

Rote
Karten
Härte
12345678910
092.886.079.773.768.263.158.353.949.745.9
17.213.118.322.826.629.732.334.436.037.2
2 0.91.93.24.76.38.19.911.713.6
3    0.50.81.21.72.32.9

Man kann bestimmt noch 'genauere' Matrizen finden, aber das lohnt sich vermutlich nicht.